Los antiguos y las matemáticas

—Los números permitieron la construcción de complejas sociedades urbanizadas, que movilizaron numerosos recursos.—

Si una disciplina atrajo el interés de todas las sociedades antiguas, de Oriente a Occidente, esta fue la matemática. Egipto, Babilonia, India, Grecia, China o Mesoamérica demuestran que entorno al cultivo de las matemáticas hubo una gran diversidad, que se evidencia en los problemas que interesaron en cada caso, como también la variedad en los tipos de razonamiento predominantes, la relación establecida entre las matemáticas y otras indagaciones o el valor que estas tuvieron dentro de cada sociedad. Sin las matemáticas, sin los números, no hubiera sido posible la civilización, es decir, el orden y el control de los recursos: una economía monetaria, que permitiera la contabilidad; la agrimensura; el censo y la fiscalidad.

Tableta Clay, con matemática geométrica y algebraica, similar a la euclidiana (Museo de Irak, Tell Harmal, 2003-1595 a. C.). Wikipedia.

La antigua Babilonia fue el escenario de los primeros estudios conocidos de las matemáticas. Las miles de tablillas de arcilla grabadas con la característica escritura cuneiforme nos revelan que un grupo importante de escribas recibió formación en escuelas, donde se les entrenó para resolver muchas cuestiones que interesaban al estado, particularmente disputas legales y financieras, comercio, leyes y agricultura (averiguar el área de los campos, los perfiles de las acequias y estructuras de los embalses). Memorizaban largas tablas de multiplicaciones y divisiones. La arcilla y los juncos, estilos con punta triangular, utilizados como herramientas para la escritura, condicionaron los sistemas numéricos. Estas circunstancias les obligaron a contar en bloques de sesenta, particularidad que condicionó e influyó el resto de la geometría posterior. Las matemáticas experimentaron una clara evolución a lo largo de la historia mesopotámica, hasta alcanzar un pensamiento en el que la materia se desvincula del problema práctico que la originó (cálculo de pagos, distribución de una herencia, medición de campos…) para conformarse de acuerdo con una dinámica interna. A las progresiones aritméticas y geométricas se sumaron las ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas, exponenciales y de otros tipos; se resolvieron sistemas de varias ecuaciones y se usaron logaritmos, entre otros procedimientos matemáticos.

En el caso de Egipto nos encontramos con un menor desarrollo y con mucha menos información disponible, apenas cinco papiros egipcios como el Rhind (1650 a. C.), el de Moscú (1890 a. C.) o Berlín (1800 a. C.). No obstante, es posible señalar el interés por explicar a los estudiantes los métodos y problemas propios de la aritmética y la geometría, como por ejemplo ecuaciones lineales, series aritméticas y geométricas, los números primos, o la resolución de ecuaciones algebraicas de segundo grado. A diferencia de los babilonios, los egipcios optaron por un sistema decimal no posicional, desarrollado al principio con pictogramas jeroglíficos y símbolos individuales. Con la introducción del papiro y la tinta se pudo simplificar y acelerar el proceso escriturario, más cursivo (hierático), que acabaría desembocando en el demótico. Así, el conjunto de símbolos se redujo considerablemente y, con él, la necesidad de memorizar. Con todo, estas dos grandes civilizaciones desarrollaron una extraordinaria y compleja administración y un sistema de gobierno que hubiera sido impensable sin un método escriturario y lo que de él se derivó. Todo aquel conocimiento fue fundamental para los avances posteriores de las matemáticas en el mundo griego.

Detalle de aspectos matemáticos del papiro Rhind (British Museum, EA10057, Tebas, c. 1550 a. C.). Wikipedia.

De todas las aportaciones helenísticas, se ha llegado a afirmar que la más impresionante e inspiradora de todas fueron las matemáticas. No solo por los logros obtenidos, sino también por haberlos conseguido en un margen de tiempo increíblemente corto. Ahora bien, los griegos cambiaron su perspectiva matemática cuando se orientaron hacia el conocimiento geométrico abstracto y sus métodos formales de inferencia y prueba. Seguramente uno de los pioneros más conocidos fue Pitágoras (569-475 a. C.). Este fundó una escuela filosófica y religiosa en el sur de Italia con numerosos seguidores. Se llamaban a sí mismos matematikoi; vivían en el seno de esta sociedad de forma permanente, hombres y mujeres, no tenían posesiones personales y eran vegetarianos. Los pitagóricos no estaban interesados en “formular o resolver problemas matemáticos”, ni existían para ellos «problemas abiertos” en el sentido tradicional del término. El interés de Pitágoras era el de “los principios” de la matemática, «el concepto de número», “el concepto de triángulo” (u otras figuras geométricas) y la idea abstracta de «prueba». Pitágoras pasó sobre todo por ser un experto en temas como la inmortalidad, la reencarnación del alma y su destino después de la muerte, rituales religiosos y de autocontrol y disciplina. Fue fundador de un modo de vida y de ideas secundadas por muchos. Así mismo, Platón fue seguidor del pitagorismo. De hecho, para él, todo lo que enlazaba el cosmos era una proporción geométrica. En cambio, Aristóteles marcó una diferencia entre las matemáticas y la naturaleza; la geometría no agotaba la realidad en absoluto.

Pitagóricos celebrando el amanecer (Fyodor Bronnikov, 1869). Wikipedia.

Entender qué eran las matemáticas, qué significado se les atribuía y cuál era su utilidad para a les persones del mundo antiguo es un reto para la forma de entender estas cuestiones en la actualidad. Por otra parte, las formas de entender las matemáticas fueron también variadas en la Antigüedad. Por ejemplo, cuando en el mundo chino se referían al “shu” (número), el campo semántico que atesoraba tal término era más amplio que el significado actual.  El “shushu”, o estudio del “shu”, comprendía un acercamiento mucho más amplio que el uso de los números o de las cantidades. En el contexto chino se desarrollaron diversos tratados matemáticos en su período clásico, unos cien años antes y después del nacimiento de Cristo que marca la forma más habitual de establecer la era en Europa.  Usaron un sistema de notación aritmética bastante parecido al europeo, con símbolos cuyo valor viene dado por la posición, y además con base decimal. Los métodos de cálculo se hacían, en cambio, con tablillas regladas. Los chinos diseñaron un sistema que permitía relacionar de manera ordenada fenómenos muy diversos; la comprensión que se alcanzaba era asociativa, no explicativa. Cada objeto formaba parte de una red de relaciones y ocupaba un lugar dentro de un marco de interpretación global. El matemático chino quería encontrar los elementos esenciales que podían unificar toda la materia (“ganji”). Las matemáticas eran para la cultura china una fuente de cohesión, armonía y unidad.

Portada de la obra Elementos geométricos de Euclides, publicada por Jacobo Kresa en 1689. Wikipedia.

Cerca del 300 a. C. tuvo lugar el momento más brillante de la ciencia antigua del ámbito del Mediterráneo. Un grupo de matemáticos helenísticos buscó separarse de la tradición del mundo egipcio y babilónico y distanciarse de otros grupos de intelectuales, tales como los filósofos y los sofistas, también interesados en las matemáticas. Estos nunca configuraron un cuerpo profesional que se ganara la vida con sus habilidades matemáticas. De hecho, desarrollaron actividades muy diversas, y muchos fueron militares, mercaderes, políticos y filósofos. Parece que solían trabajar en soledad, y nunca crearon escuela. Atenas fue una excepción, donde sí se agruparon para trabajar o al menos compartieron problemas. También otros conocidos enmarcados en la famosa Alejandría crearían escuela. Euclides, Arquímedes y Apolonio son seguramente las figuras más destacadas, de orígenes diversos pero formados en la ciudad egipcia. Aunque también es cierto que hubo un nutrido grupo de matemáticos menos conocidos, tales como Eratóstenes, Nicomedes, Diocles, Hipsicles o Zenodoro, cada uno tenía sus propias aportaciones originales.

La conocidísima producción del primero, Euclides, contrasta con lo poco que sabemos de su obra. Sus Elementos fueron la obra de matemáticas más exitosa de todos los tiempos: desplazó a muchas y ninguna la pudo arrinconar. Se tradujo a numerosas lenguas y con la imprenta tuvo más de mil ediciones. Se usó como libro de texto de muchas escuelas y universidades europeas. Transportado a Oriente por las misiones de los jesuitas, la obra fue traducida al chino a principios del siglo XVII. Euclides practicó y enseñó en el Museo de Alejandría una matemática rigurosa alejada de toda aplicación práctica. Sus trece libros abordan la aritmética y el álgebra, pero fundamentalmente se le reconoció por su geometría, no superada hasta el siglo XIX. Si bien Arquímedes siguió la geometría euclidiana, le dio otra perspectiva. La aplicación de las matemáticas al estudio de la naturaleza resulta muy clara en aspectos como la astronomía, la óptica y principios como la balanza o la palanca. En todos estos ámbitos, los matemáticos helenísticos proporcionaron modelos elegantes de gran influencia. Si nos referimos al primer caso, en tres generaciones se preparó el terreno a un modelo que haría fortuna y se extendería hasta la Revolución científica: Eudoxo creó el primer modelo geométrico para el movimiento planetario; Heráclides, Aristarco e Hiparco dieron una explicación de la estructura del cosmos y Tolomeo cerraría con brillantez el modelo cosmológico que duró 1.500 años.

Representación gráfica de la cosmovisión de Tolomeo con los signos del zodiaco, el sistema solar y la Tierra en el centro (Andreas Cellarius, Harmonia Macrocosmica, 1660/61). Wikimedia.

En vísperas de la caída del Imperio Romano, en el siglo V, los estudios matemáticos se caracterizaron por el uso de comentarios prolijos de los trabajos que habían sido claves en épocas anteriores. Autores como Arquímedes, Euclides o Apolonio pasaron por este proceso de comentarios con el fin de aclarar definiciones, adjuntar algunas demostraciones o clarificar la relación entre los teoremas. Algunos trabajos de este tipo llegaron a ofrecer resultados novedosos. Algo semejante ocurrió en el ámbito helenístico. Todavía en aquel siglo se escribieron algunos tratados, pero, con el triunfo del cristianismo, el platonismo cayó en descrédito y, en el año 529, el emperador Justiniano cerraría la Academia. En los últimos tiempos de la escuela alejandrina podemos destacar a Pappus, Teón de Alejandría y su hija Hipatia, con comentarios sobre el Almagesto y los trabajos de Euclides, y los comentarios de Apolonio y Diofanto, respectivamente, trabajos hoy perdidos.

Carmel Ferragud
IILP-UV

Cómo citar este artículo:
Ferragud, Carmel. Los antiguos y las matemáticas. Sabers en acció, 2022-11-13. https://sabersenaccio.iec.cat/es/los-antiguos-y-las-matematicas/.

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