Les matemàtiques en l’antiguitat

—Els nombres van permetre la construcció de complexes societats urbanitzades, que van mobilitzar nombrosos recursos.—

Si una disciplina va atraure l’interès de totes les societats antigues, d’Orient a Occident, aquesta va ser la matemàtica. Egipte, Babilònia, l’Índia, Grècia, la Xina o Mesoamèrica demostren que entorn del cultiu de les matemàtiques va haver-hi una gran diversitat, que s’evidencia en els problemes que van interessar en cada cas, com també en la varietat en els tipus de raonament predominants, la relació establerta entre les matemàtiques i altres indagacions o el valor que aquestes van tenir dins de cada societat. Sense les matemàtiques, sense els nombres, no hauria sigut possible la civilització, és a dir, l’ordre i el control dels recursos: una economia monetària que permetera la comptabilitat; l’agrimensura; el cens i la fiscalitat.

Tauleta Clay, amb matemàtica geomètrica i algebraica, similar a l’euclidiana (Museu d’Irak, Tell Harmal, 2003-1595 aC). Wikipedia.

L’antiga Babilònia va ser l’escenari dels primers estudis coneguts de les matemàtiques. Els milers de taules d’argila gravades amb la característica escriptura cuneïforme ens revelen que un grup important d’escribes va rebre formació en escoles, on se’ls va entrenar per a resoldre moltes qüestions que interessaven l’estat, particularment disputes legals i financeres, comerç, lleis i agricultura (esbrinar l’àrea dels camps, els perfils de les séquies i estructures dels embassaments). Memoritzaven llargues taules de multiplicacions i divisions. L’argila i els joncs, estils amb punta triangular, utilitzats com a eines per a l’escriptura, van condicionar els sistemes numèrics. Aquestes circumstàncies els van obligar a comptar en blocs de seixanta, particularitat que va condicionar i va influir la resta de la geometria posterior. Les matemàtiques van experimentar una clara evolució al llarg de la història mesopotàmica, fins a aconseguir un pensament en què la matèria es desvincula del problema pràctic que la va originar (càlcul de pagaments, distribució d’una herència, mesurament de camps…) per a conformar-se d’acord amb una dinàmica interna. A les progressions aritmètiques i geomètriques es van sumar les equacions lineals, quadràtiques, cúbiques, exponencials i d’altres tipus; es van resoldre sistemes de diverses  equacions i es van usar logaritmes, entre altres procediments matemàtics.

En el cas d’Egipte, ens trobem amb un menor desenvolupament i amb molta menys informació disponible, a penes cinc papirs egipcis com el Rhind (1650 a. C.), el de Moscou (1890 a. C.) o Berlín (1800 a. C.). No obstant això, és possible assenyalar l’interès per explicar als estudiants els mètodes i problemes propis de l’aritmètica i la geometria, com per exemple equacions lineals, sèries aritmètiques i geomètriques, els nombres primers, o la resolució d’equacions algebraiques de segon grau. A diferència dels babilonis, els egipcis van optar per un sistema decimal no posicional, desenvolupat al principi amb pictogrames jeroglífics i símbols individuals. Amb la introducció del papir i la tinta, es va poder simplificar i accelerar el procés escripturari, més cursiu (hieràtic), que acabaria desembocant en el demòtic. Així, el conjunt de símbols es va reduir considerablement i, amb aquest, la necessitat de memoritzar. Amb tot, aquestes dues grans civilitzacions van desenvolupar una extraordinària i complexa administració i un sistema de govern que haguera sigut impensable sense un mètode escripturari i el que se’n va derivar. Tot aquell coneixement va ser fonamental per als avanços posteriors de les matemàtiques en el món grec.

Detall d’aspectes matemàtics del papir Rhind (British Museum, EA10057, Tebes, c. 1550 aC). Wikipedia.

De totes les aportacions hel·lenístiques, s’ha arribat a afirmar que la més impressionant i inspiradora de totes van ser les matemàtiques. No sols pels assoliments obtinguts, sinó també per haver-los aconseguit en un marge de temps increïblement curt. Ara bé, els grecs van canviar la seua perspectiva matemàtica quan es van orientar cap al coneixement geomètric abstracte i els seus mètodes formals d’inferència i prova. Segurament un dels pioners més coneguts va ser Pitàgores (569-475 a. C.). Aquest va fundar una escola filosòfica i religiosa al sud d’Itàlia amb nombrosos seguidors. Es deien a si mateixos matematikoi; vivien en el si d’aquesta societat de manera permanent, homes i dones, no tenien possessions personals i eren vegetarians. Els pitagòrics no estaven interessats a “formular o resoldre problemes matemàtics”, ni existien per a ells “problemes oberts” en el sentit tradicional del terme. L’interès de Pitàgores era el d’“els principis” de la matemàtica, “el concepte de nombre”, “el concepte de triangle” (o altres figures geomètriques) i la idea abstracta de “prova”. Pitàgores va passar sobretot per ser un expert en temes com la immortalitat, la reencarnació de l’ànima i la seua destinació després de la mort, rituals religiosos i d’autocontrol i disciplina. Va ser fundador d’una manera de vida i d’idees secundades per molts. Així mateix, Plató va ser seguidor del pitagorisme. De fet, per a ell, tot el que enllaçava el cosmos era una proporció geomètrica. En canvi, Aristòtil va marcar una diferència entre les matemàtiques i la naturalesa; la geometria no esgotava la realitat en absolut.

Pitagòrics celebrant la sortida del sol (Fyodor Bronnikov, 1869). Wikipedia.

Entendre què eren les matemàtiques, quin significat se’ls atribuïa i quina era la seva utilitat per a les persones del món antic és un repte per la forma d’entendre aquestes qüestions en l’actualitat. Per una altra banda, les formes d’entendre les matemàtiques també van ser variades en l’antiguitat. Per exemple, quan en el món xinès es referien al “shu” (número), el camp semàntic que atresorava aquest terme era més ampli que el significat actual. El “shushu”, o estudi del “shu”, comprenia un apropament molt més ampli que l’ús dels nombres o de les quantitats. En el context xinès es van desenvolupar diversos tractats matemàtics en el seu període clàssic, uns cent anys abans i després del naixement de Crist, que marca la forma més habitual d’establir l’era a Europa. Van utilitzar un sistema de notació aritmètica força semblant a l’europeu, amb símbols el valor dels quals ve donat per la posició, i a més amb base decimal. Els mètodes de càlcul es feien, en canvi, amb tauletes reglades. Els xinesos van dissenyar un sistema que permetia relacionar de manera ordenada fenòmens molt diversos; la comprensió que s’assolia era associativa, no explicativa. Cada objecte formava part d’una xarxa de relacions i ocupava un lloc dins d’un marc d’interpretació global. El matemàtic xinès volia trobar els elements essencials que podien unificar tota la matèria (“ganji”). Les matemàtiques eren per a la cultura xinesa una font de cohesió, harmonia i unitat.

Portada de l’obra Elements geomètrics d’Euclides, publicada per Jacobo Kresa el 1689. Wikipedia.

Prop del 300 a. C. va tenir lloc el moment més brillant de la ciència antiga. Un grup de matemàtics hel·lenístics va cercar separar-se de la tradició del món egipci i babilònic i distanciar-se d’altres grups d’intel·lectuals, com ara els filòsofs i els sofistes, també interessats en les matemàtiques. Aquests mai van configurar un cos professional que es guanyara la vida amb les seues habilitats matemàtiques. De fet, van desenvolupar activitats molt diverses, i molts van ser militars, mercaders, polítics i filòsofs. Sembla que solien treballar en soledat, i mai van crear escola. Atenes va ser una excepció, on sí es van agrupar per a treballar o almenys van compartir problemes. També altres coneguts emmarcats en la famosa Alexandria crearien escola. Euclides, Arquimedes i Apol·loni són segurament les figures més destacades, d’orígens diversos però formats a la ciutat egípcia. Encara que també és cert que va haver-hi un nodrit grup de matemàtics menys coneguts, com ara Eratòstenes, Nicomedes, Diocles, Hipsicles o Zenodor, cadascun tenia les seues pròpies aportacions originals.

La conegudíssima producció del primer, Euclides, contrasta amb el poc que sabem de la seua obra. Els seus Elements van ser l’obra de matemàtiques amb més èxit de tots els temps: va desplaçar-ne moltes i cap la va poder arraconar. Es va traduir a nombroses llengües i amb la impremta va tenir més de mil edicions. Es va usar com a llibre de text de moltes  escoles i universitats europees. Transportat a Orient per les missions dels jesuïtes, l’obra va ser traduïda al xinès a principis del segle XVII. Euclides va practicar i va ensenyar al Museu d’Alexandria una matemàtica rigorosa allunyada de tota aplicació pràctica. Els seus tretze llibres aborden l’aritmètica i l’àlgebra, però fonamentalment se’l va reconèixer per la seua geometria, no superada fins al segle XIX. Si bé Arquimedes va seguir la geometria euclidiana, li va donar una altra perspectiva.

L’aplicació de les matemàtiques a l’estudi de la naturalesa resulta molt clara en aspectes com l’astronomia, l’òptica i principis com ara la balança o la palanca. En tots aquests àmbits, els matemàtics hel·lenístics van proporcionar models elegants de gran influència. Si ens referim al primer cas, en tres generacions es va preparar el terreny a un model que faria fortuna i s’estendria fins a la revolució científica: Èudox va crear el primer model geomètric per al moviment planetari; Heràclides, Aristarc i Hiparc van donar una explicació de l’estructura del cosmos i Ptolomeu tancaria amb brillantor el model cosmològic que va durar 1.500 anys.

Representació gràfica de la cosmovisió de Ptolomeu amb els signes del zodíac, el sistema solar i la Terra al centre (Andreas Cellarius, Harmonia Macrocosmica, 1660/61). Wikimedia.

En vespres de la caiguda de l’Imperi Romà, en el segle V, els estudis matemàtics es van caracteritzar per l’ús de comentaris prolixos dels treballs que havien sigut claus en èpoques anteriors. Autors com Arquimedes, Euclides o Apol·loni van passar per aquest procés de comentaris amb la finalitat d’aclarir definicions, adjuntar algunes demostracions o aclarir la relació entre els teoremes. Alguns treballs d’aquest tipus van arribar a oferir resultats nous. Una cosa semblant va ocórrer en l’àmbit hel·lenístic. Encara en aquell segle es van escriure alguns tractats, però, amb el triomf del cristianisme, el platonisme va caure en descrèdit i, l’any 529, l’emperador Justinià tancaria l’Acadèmia. En els últims temps de l’escola alexandrina podem destacar Pappus, Teó d’Alexandria i la seua filla Hipàtia, amb comentaris sobre l’Almagest  i els treballs d’Euclides, i els comentaris d’Apol·loni i Diofant, respectivament, treballs avui perduts.

Carmel Ferragud
IILP-UV

Com citar aquest article:
Ferragud, Carmel. Les matemàtiques en l’antiguitat. Sabers en acció, 13-11-2020. https://sabersenaccio.iec.cat/les-matematiques-en-lantiguitat/.

Per a saber-ne més

Pots ampliar la informació amb la bibliografia i recursos disponibles.